5 במרץ-22 ביוני, 2018 מבחנים מסתיימים: 12 באוקטובר, 2018

קורסים

קורסים לבוגר

נושאים
  1. מבוא ומושגים בסיסיים.
  2. חסמים על גודל קודים.
  3. שדות סופיים.
  4. קודים ליניאריים.
  5. קודים מושלמים.
  6. קודים ציקליים.
  7. אריזות כדורים.
  8. חסמים אסימפטוטיים על גודל קודים.

קוסר במשוואתו דיפרנציאליתו חלקיתו מקצועות קד:ם משוואות דיפרנציאליתו רגילתו מקצועות צמודים: אנליתז פוריהי :רשימת נושאםי ? משוואות מסרד ראשו:ן משווהא לינארי,ת משווהא קווזילינארית, פתרון בעיות התחלה בשיטת קווים אפיינים ? מיןו משוואות מסרד שנ:י משוואות אליפטיות, היפרבוליתו ופרבוליו,ת דוגמאות .לש משוותא לפלס, גלםי וחםו ,? משוואות אליפטיות: משוותא לפסל ופאסון, בעתי דיריכלה ונוימן, גרעין פואסןו .פונקצית גרין, תכונתו לש פונקציתו הרמוניות, עקרון מקסימום בעתי שטורם :? שיטות אנליטיתו לפתרןו לש משוואות דיפרנציאליתו חלקיתו ,ליובלי ושיטת הפרדת משתנםי לתחומים חסומים, שימושים למשוואת לפסל גלםי וחםו כול בעיות אל הומוגניו.ת שימוש בהתמרות פוריה ולפלס לפתרןו לש .בעיות בתחומים אל חסומםי ? משוותא חו:ם בעתי התחלה בתחום אל חסום, נוסחה בסיסתי לפתרון, בעיות .בתחום חסום, עקרון מקסימום ? משוותא גלים: נוסחת דלמב,ר המשוואה הלא הומוגנית, משוותא גלםי במימדים .גבוהםי ? םא נשרא זמ:ן פולינומים לש לג’נדר ופונקציות ספריתו

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

  1. יחסי סדר חלקיים. שרשראות ואנטי שרשראות. דוגמאות. משפט ארדש סקרס או משפט אחר להדגמה. בניית סדר חלקי על מנה מעל קדם סדר.
  2. השוואת קבוצות. הגדרת עצמה כמחלקת שקילות. משפט קנטור ברנשטיין. משפט קנטור על קבוצת החזקה.
  3. קבוצות בנות מניה. מניות הריבוע של הטבעיים, הסדרות הסופיות מעל קבוצה בת מניה, בניית הרציונלים. יחידות הסדר הרציונלי.
  4. משפט רמזי. שימושים.
  5. בניית המספרים הממשיים כמנה מעל שקילות סדרות קושי.
  6. הלמה של קניג על עצים בני מניה עם רמות סופיות. שימושים: גרף בן מניה צביע ב-k צבעים אם ורק אם כל תת גרף סופי שלו צביע ב-k צבעים.
  7. סדר טוב. איזומורפיזמים בין סדרים טובים. ניסוח אקסיומת הבחירה כעיקרון הסדר הטוב. דוגמאות. שימוש: גרף כלשהו צביע ב-k צבעים אםם כל תת גרף סופי שלו צביע ב-k צבעים.
  8. הלמה של צורן. שימושים. (קיום בסיס למרחב וקטורי כלשהו; קיום עץ פורש בגרף כלשהו).
  9. דיון באקסיומות של תורת הקבוצות ונחיצותן. הפרדוקס של ראסל. סודרים.
  10. אינדוקציה טרנספיניטית. שימושים: קיום קבוצה במישור שחיתוכה עם כל ישר הוא בגודל 2.
  11. מונים אינסופיים כסודרים פותחים. אריתמטיקה בסיסית של מונים. חישובי עצמות של קבוצות מוכרות?: קבוצת הפונקציות הממשיות הרציפות, האוטומורפיזמים של השדה הממשי (עם ובלי סדר).

שדות ומטריצות, מרחבים וקטוריים מעל שדה, משוואות ליניאריות מעל שדה, דטרמיננטות, מרחבים דואליים, טרנספורמציות ליניאריות.

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ’ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

  • מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
  • העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
  • אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
  • משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
  • משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.
  • ממוצעי צ’זרו: קונבוליציות, גרעיני סומביליות חיוביים ומשפט פייר.
  • שימושים של משפט פייר: משפט הקירוב של ויירשטראס עבור פולינומים, משפט ההתפלגות במידה אחידה של וייל, בניה של פונקציה רציפה שאיננה גזירה בשום מקום (ככל שיתיר הזמן).
  • התכנסות והתבדרות נקודתית ובמידה שווה של הסכומים החלקיים: גרעין דיריכלה ותכונותיו, בניה של פונקציה רציפה עם טור פורייה מתבדר, בוחן דיני.
  • קירובים בנורמת המכפלה הפנימית. נוסחת פרסבל. התכנסות בהחלט של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות. ככל שיתיר הזמן, הבעיה האיזופרימטרית או שימושים שונים.
  • שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות החום והגלים במעגל ובקטע. גרעיו פואסון ומשוואת לפלס במעגל.
  • טורי פורייה של פוקציונלים לינאריים על מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות כמה פעמים. מושג הדיסטריבוציה על המעגל.
  • אם יתיר הזמן, סדרות מוגדרות חיובית ומשפט הרגלוץ.
  • טרנספורם פורייה על הישר: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט. אם יתיר הזמן, דיסטריבוציות על הישר, ושימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות.
  • אנליזת פורייה על חבורות ציקליות סופיות, ואלגוריתם טרנספורם פורייה מהיר.

הפולינום האופייני והפולינום המינימלי של מטריצה ושל טרנספורמציה, מרחבי מכפלה פנימית, טרנספורמציות במרחבי מכפלה פנימית, תבניות ביליניאריות.

  • שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
  • פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
  • הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
  • בניות בסרגל ומחוגה
  • סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
  • שדות פיצול
  • הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
  • הרחבות ציקליות
  • פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
  • שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
  • שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

קורסים למוסמך

רשימת הנושאים:

  1. קטגוריות ופונקטורים: טרנספורמציות טבעיות, שקילות, פונקטורים צמודים, פונקטורים אדיטיביים, דיוק.
  2. פונקטורים נגזרים: מודולים פרוייקטיביים, אינג?קטיביים ושטוחים;. רזולוציות, הפונקטורים ו-; דוגמאות ושימושים.
  3. קוהומולוגיה לא אבלית ושימושיה.
  • הצגות תמורות ומשפטי Sylow.

  • הצגות של חבורות על חבורות, חבורות פתירות, חבורות נילפוטנטיות, מכפלות חצי-ישרות ומכפלות מרכזיות.

  • חבורות תמורות, החבורה הסימטרית והחבורה האלטרנטיבית.

  • חבורת Fitting המוכללת של חבורה סופית.

  • חבורות .

  • הרחבות של חבורות: הקוהומולוגיה הראשונה והשנייה ויישומים.

  • אגדים וקטורים וחבורת K של מרחב טופולוגי.
  • משפט המחזוריות של Bott ושימושים לאלגבראות.
  • אינדקס של אופרטור פרדהולם ותורת K .
  • במידה ויספיק זמן נדון גם בנושאים הבאים (חלקם במסגרת הרצאות התלמידים): יריעות חלקות וקוהומולוגית דה-ראהם, מחלקות בקוהומולוגיה המשויכות לאגדים וקטורים ואיזומורפיזם chern ובפרט מחלקת אוילר. אופרטורים אליפטיים, ניסוח משפט Atiyah-Singer והקשר שלו למשפט גאוס-בונה ומשפטי אינדקס אחרים.
  1. Affine algebraic sets and varieties.
  2. Local properties of plane curves.
  3. Projective varieties and projective plane curves.
  4. Riemann–Roch theorem.

הקורס יעסוק בהילוכים מקריים, פונקציות הרמוניות, הקשרים ביניהם, וכן השימושים השונים והקשרים לגיאומטריה ואלגברה (בעיקר של חבורות נוצרות סופית).

בקורס נאמץ את נקודת המבט המודרנית, לאור מאמרים שנכתבו לאחרונה על ידי: Gromov, Kleiner, Ozawa, Shalom & Tao, ואחרים.

ידע קודם נדרש: קורס בסיסי בהסתברות, היכרות עם הגדרות בסיסיות של תורת החבורות.

  • משפטים בסיסיים והגדרות: קבוצות קמורות, צרוף קמור, למת ההפרדה, משפט הלי, משפט רדון, משפט קרתאודורי, נקודת מרכז, משפט טברברג, גרפים מישוריים, משפט קבה, הוכחת המפריד לגרפים מישוריים של ליפטון טרג`ן באמצעות קבה.
  • גרפים גאומטריים: למת החיתוכים. שימושים לבעיות ארדס: בעיות חילה בין נקודות ועקומים, בעיית המרחקים הזהים, בעיית ספירת מרחקים שונים, למת בחירה של נק בתוך עיגולים. נק בתוך סימפלקסים. ספירת חציות של קבוצת נקודות על-ידי על-מישורים. שימוש בחילות לבעיות בתורת המספרים האדיטיבית.
  • בעיות צביעה וטרנסברסלים להיפר גרפים גאומטריים: מימד וי סי, רשתות אפסילון ורשתות אפסילון חלשות לקבוצות קמורות. צביעות חסרות קונפליקטים.
  • מערכים: סדרות דבנפורט שינצל ושימושיהן לתתי מבנים במערכים.
  • תורת רמזי גאומטרית: משפט ארדס סקרס לקבוצות קמורות. שימושים של משפט דילוורס, גרפים קווזי מישוריים.

הקורס יעסוק במספר מושגים בסיסיים בתורת המודלים, עם מוטיבציה ושימושים עבור מבנים ותורות סטנדרטיות. נקווה לכסות את המושגים הבאים:

  • טיפוסים ומרחבי טיפוסים
  • מודלים רוויים והומוגניים
  • חילוץ כמתים והשלמה מודלית
  • חילוץ דמיוניים
  • חבורות ושדות גדירים
דרישות קדם

סטודנטים צריכים להכיר ולהרגיש בנוח עם המושגים הבאים מלוגיקה: שפות, מבנים, נוסחאות, תורות, משפט הקומפקטיות. בנוסח, מומלץ להכיר מושגים בסיסיים מתורת השדות, טופולוגיה והסתברות

הערות

  • קורסים המסומנים ב-(*) מהווים דרישת קדם לרישום לתאר מוסמך
  • קורסים המסומנים ב-(#) הינם קורסי חובה אפשריים למוסמך, בתחומים המתאימים, כמתואר בתכנית הלימודים למוסמך. לפחות שניים כאלה, מתחומים שונים, נדרשים לעמידה בדרישות התואר.
  • קורסים לתארים מתקדמים פתוחים גם בפני תלמידי בוגר חזקים, להם ציון ממוצע של 85 ומעלה, ואשר ניתן להם אישור של המרצים בקורם ושל ראש ועדת ההוראה
  • אנא עיינו בתכניות הלימודים המלאות לתואר בוגר ולתארים מתקדמים למידע על הדרישות והאפשרויות המלאות.